快速傅里叶变换的原理（如何理解和掌握快速傅里叶变换的计算和概念）
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如何理解和掌握快速傅里叶变换的计算和概念
MATLAB傅里叶变换： 傅立叶变换的分类：傅立叶级数：将周期性连续函数变换为离散频率点上的函数（连续）傅立叶变换：将连续函数变换为连续频率的函数离散时间傅立叶变换：将离散函数变换为连续频率的函数离散傅立叶变换：将有限长离散函数变换为离散频率点上的函数其中FFT是离散傅立叶变换的快速计算方法，适用于离散信号，并且注意变换后的点数与信号的采样点数一致。尽管可以将信号补0，但补0不能提高频域的分辨率。matlab中提供了函数fft做一维的FFT。 时域谱和频域谱是相互对应；时域的信号长度，决定频域的采样间隔，它们成导数关系； 时域中信号有N点，每点间隔dt，所以时域信号长度为N*dt；那么频谱每点的间隔就是1/(N*dt)。 傅立叶变换结果和原来信号有相同的点数，所以m=N，又第一点一定对应0频率，所以频域信号的很坐标就是(0:m-1)/(N*dt)，这句就是根据这个很坐标和频谱c，画出频谱plot((0:m-1)/(N*dt),c），所以在频谱图上，可以根据峰值的位置的横坐标读出对应的频率。clearall;N=256;dt=0.02;n=0:N-1;t=n*dt;x=sin(2*pi*t);m=N;a=zeros(1,m);b=zeros(1,m);fork=0:m-1 forii=0:N-1 a(k+1)=a(k+1)+2/N*x(ii+1)*cos(2*pi*k*ii/N); b(k+1)=b(k+1)+2/N*x(ii+1)*sin(2*pi*k*ii/N); endc(k+1)=sqrt(a(k+1)^2+b(k+1)^2);endsubplot(211);plot(t,x);title(’原始信号’),xlabel(’时间/t’);f=(0:m-1)/(N*dt);subplot(212);plot(f,c);holdontitle(’Fourier’);xlabel(’频率/HZ’);ylabel(’振幅’);ind=find(c==max(c),1,’first’);%寻找最到值的位置x0=f(ind);%根据位置得到横坐标（频率）y0=c(ind);%根据位置得到纵坐标（幅度）plot(x0,y0,’ro’);holdofftext(x0+1,y0-0.1,num2str(x0,’频率=%f’));
傅里叶变换
1. 傅里叶变换的基本原理
遥感图像像元 DN 值随空间位置变化的特性可用频率来进行描述。DN 值的空间变化频率特征可看作为由具有不同频率、振幅和相位的许多正弦波或余弦波叠合而成的复杂波形。一般而言，短距离内的亮度变化 ( 线条或边缘) 相当于高频波，而长距离或大范围内的变化 ( 背景) 则相当于低频波。
图像的傅里叶 ( Fourier) 变换是空间频率的函数，构成一个描述组成该图像的所有正弦波的频率、振幅与相位关系的频谱 ( 傅里叶谱) 。图像的傅氏变换包含着原图像中的所有信息，不同的是量度的方式。通过傅氏变换，可对原图像数据从频率的角度进行频谱特征调整，并可通过傅氏反变换得到最终图像而实现预期目的。
2. 傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换具有线性性质、比例变换性、位移性、周期性、共轭对称性，并服从卷积定理，同时，二维傅里叶变换具有可分离性，即二维傅里叶变换可先后分别沿 x 和 y ( μ和 ν) 两个方向进行运算。
傅氏变换后的傅氏频谱 ( 振幅) 图像是以 | F ( 0，0) | ( 零频相，常称 DC 项) 为中心呈辐射对称的，傅氏频谱图像中任意一点到原点的距离代表该点空间频率的高低，而该点与原点连线的方位角反映了原图像中线性特征信息的方向。
快速傅里叶变换的基本思想
FFT的基本思想是把原始的N点序列，依次分解成一系列的短序列。充分利用DFT计算式中指数因子 所具有的对称性质和周期性质，进而求出这些短序列相应的DFT并进行适当组合，达到删除重复计算，减少乘法运算和简化结构的目的。此后，在这思想基础上又开发了高基和分裂基等快速算法，随着数字技术的高速发展，1976年出现建立在数论和多项式理论基础上的维诺格勒傅里叶变换算法(WFTA）和素因子傅里叶变换算法。它们的共同特点是，当N是素数时，可以将DFT算转化为求循环卷积，从而更进一步减少乘法次数，提高速度。
快速傅里叶变换的介绍
快速傅里叶变换 (fast Fourier transform), 即利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FFT。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。
关于快速傅里叶变换
利用DIF思想
a(n) = x(n) + x(n+N)
b(n) = x(n) - x(n+N)
then
X(2r) = DFT(a(n))
X(2r+1) = DFT(Wn2Nb(n))
注：Wn2N为 W, 上标n, 下标2N.
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