阶乘函数和指数函数（自然数，阶乘，指数，对数，幂指函数，幂函数，六者的收敛速度是什么样的）
本文目录
- 自然数，阶乘，指数，对数，幂指函数，幂函数，六者的收敛速度是什么样的
- 指数和阶乘的数学计算公式
- exp(x)和exp(-x)哪个趋向于0 的速度更快，怎么比较常用函数在某个趋势下的速度
- 哪个函数增长速度最快
- 阶乘,指数函数谁跑得快
自然数，阶乘，指数，对数，幂指函数，幂函数，六者的收敛速度是什么样的
一般而言，这种常识仅用于大体估算，主要用于较大数据的大小比较和极限或大小变化快慢的粗略判断，估计出来后最好再严格证明一下，一般说来：
幂指》阶乘〉指数函数〉幂函数〉自然数〉对数
另外提醒两点：
1.在自变量趋向无穷大时，以上全都为发散，而非收敛。若谈收敛，需要指定自变量趋向，例如0.
2.幂指函数你指的是x的x次方吧？
指数和阶乘的数学计算公式
阶乘的定义n!=n*(n-1)*(n-2)...3*2*1上述定义式子没有其它的计算公式,就如a^n=aa.a,
a的n次方等于n个a相乘一样,没有其它计算公式不过,在大学数学专业里,有公式对n!进行估计,比如用指数函数对n!进行近似计算
exp(x)和exp(-x)哪个趋向于0 的速度更快，怎么比较常用函数在某个趋势下的速度
x趋向于正无穷时，exp(-x)趋向于0 的速度很快，而exp(x)趋向于正无穷；
x趋向于负无穷时，exp(x)趋向于0 的速度很快，而exp(-x)趋向于正无穷。
常用函数在自变量趋向于无穷时，函数值趋向于无穷的速度从大到小为：
阶乘函数-》指数函数-》正指数幂函数(幂大于1)-》线性函数-》正指数幂函数(幂小于1)-》对数函数
哪个函数增长速度最快
前述：
点明“函数增长速度”这句话是有歧义的：
从函数整体来看，增长既可以单独指“自变量的增长”也可以单独指“因变量的增长”，还可以单独指“变化率（导数）”。
这里仅将增长的理解定为“导数”，而求增长速度最快的函数则指函数的导数值最大（正导数值最大和负导数值最大）。
正文：若求导数值最大的函数，则先假设存在导数值最大的函数，即理解为所有函数中 自变量 相同的情况下 因变量 的变化值最大的一函数。
确定的问题：两个问题①该函数导数值存在；②同一自变量情况下，该函数导数值在所有函数中的导数值之中最大。
解决问题①：而我们知道导数值是通过函数的极值点来判断的，导数值若存在则为“该函数任意一点自变量对应的左导数值=右导数值”（即该函数在定义域上连续，不存在间断点）。
解决问题②：因为①成立，所以导数值的域无上限为（-∞，+∞），在所有函数中，导数值最大的函数不存在。但是所有函数中，存在一类函数的导数值比其它类函数的导数值会更趋近于最大的情况，因为运算法则分为有限项的加减乘除与无限项的加减乘除，存在自变量不定情况的函数必然要通过运算得出，则函数应为有限加减乘除项的函数和无限加减乘除项的函数，其中，无限运算项的函数在任意一点自变量点的函数导数值为均为无限。
阶乘,指数函数谁跑得快
不能确定，阶乘和指数函数都是有快慢的，不能一概而论。
一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。一般地，y=ax函数(a为常数且以a》0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。
指数函数图像特点：
(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
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